Question

在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE．

（1）如圖1．連接BE、CD，BE與CD交于點O，
①證明：DC=BE；
②∠BOC=

 

°． （直接填答案）
（2）如圖2，連接DE，交AB于點F．DF與EF相等嗎？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）①等邊△ABD和等邊△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，所以，△DAC≌△BAE，則DC=BE；
②因為△DAC≌△BAE，則∠CDA=∠EBA，又∠A=30°，所以，∠BAE=∠BAC+CAE=30°+60°=90°，在四邊形ODAE中，∠ODA+∠OEA=90°，所以，可求得∠BOC=∠DOE=360°-90°-60°-90°=120°；
（2）如圖，作DG∥AE，由（1）得，∠FAE=90°，所以，∠DGF=90°，易證△DGB≌△ACB，得DG=AC，所以，DG=AE，所以，△DGF≌△EAF，所以，DF=EF；

解答：證明：（1）①∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AE，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
②∠BOC=120°；

（2）如圖，作DG∥AE，
由（1）得，∠FAE=90°，
∴∠DGF=90°，
在△DGB和△ACB中，

∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB

，
∴△DGB≌△ACB，
∴DG=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，

∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA

，
∴△DGF≌△EAF，
∴DF=EF．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具；在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．