Question

（2012•寧夏）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，則DE的長度是

5 3

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)∠EDC：∠EDA=1：2，可得∠EDC=30°，∠EDA=60°，進而得出△OCD是等邊三角形，再由AC=10，求得DE．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=

1

2

AC=5，OB=OD=

1

2

BD=5，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=30°，∠EDA=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=60°，
∴∠ODC=∠OCD=60°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=60°，
∴△OCD是等邊三角形，
DE=sin60°•OD=

3

2

×5=

5 3

2

，
故答案為

5 3

2

．

點評：本題主要考查了勾股定理和矩形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出三角形OCD是等邊三角形是解題關(guān)鍵，此題難度不大．