Question

已知自然數n的所有正約數的和是2n，則所有正約數的倒數和是多少？且證明你的結論．

Answer 1

分析：先設自然數n的所有正約數分別為x₁，x₂，x₃，x₄，…，x_m．然后根據題意列出式子化簡求解．

解答：解：正約數的倒數和為2．
設其正約數依次為：x₁，x₂，x₃，x₄，…，x_m．
其中x₁=1，x_m=n，則x₁+x₂+x₃+…+x_m=2n，
∴

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xm-1

+

1

xm

，
=（

1

x1

+

1

xm

）+（

1

x2

+

1

xm-1

）+…+（

1

xi

+

1

xm+1-i

），
=

x1+xm

x1•xm

+

x2+xm-1

x2•xm-1

+…+

xm+1-i+xi

xi•xm+1-i

，
=

2n

n

=2．

點評：本題考查了約數的概念及應用，進而求出所有正約數的倒數和．