Question

【題目】如圖，已知為的直徑，線段是的弦且，與相切于點，為直徑，連接，．

（1）求證：與相切；

（2）求證：；

（3）若，，求的值和線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（2），

【解析】

（1）連接OC．欲證PC是⊙O的切線，只需證明OC⊥PC即可；通過全等三角形△COP≌△DOP（SAS）的對應角∠OCP=∠ODP=90°來證明該結論；

（2）先證得△ODE△OPD，得到，根據OD是半徑，AB是直徑，即可證明結論；

（3）利用三角形中位線定理求得OE=3，設⊙O為R，利用勾股定理得到，再在Rt中利用構建方程即可求得R的值，在Rt中可求得的值，利用（2）的結論可求得PO的長，從而求得線段的長．

（1）連接OC，

∵在⊙O中，OD=OC，AB⊥CD于點E，
∴∠COP=∠DOP．
在△OCP和△ODP中，

，

∴△OCP≌△ODP（SAS）．
∴∠OCP=∠ODP，
又∵PD切⊙O于點D，OD為⊙O半徑，
∴OD⊥PD，
∴∠ODP=90°，
∴∠OCP=90°，
∴OC⊥PC于點C，
∴PC是⊙O的切線；

（2）∵PD切⊙O于點D，

∴∠ODP=90°，
∵AB⊥CD于點E，
∴∠OED=90°，

∴Rt△ODERt△OPD，

∴，

∴，

∵OD是⊙O的半徑，AB是⊙O的直徑，

∴OD=AB，

∴，

即：；

（3）∵DF是⊙O的直徑，

∴∠FCD=90°，

∵∠OED=90°，

∴OE∥FC，

又∵DO=OF，

∴OE=FC=3，

設⊙O為R，

在Rt中：，則，

在Rt中，AE=R+3，

∵，

∴，

∴R+3=2，

解得：R=5(負值已舍)，

在Rt中，FD=2R=10，FC=6，

∴，

由（2）得：，

即，

∴，

∴．