Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是BC、CD上的兩個動點，且AE⊥EF．則AF的最小值是____________.

Answer 1

5

設BE=x，則EC=4﹣x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，則可判斷Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=，則DF=4﹣FC=4﹣=x²﹣x+4=（x﹣2）²+3，所以x=2時，DF有最小值3，而AF²=AD²+DF²，即DF最小時，AF最小，AF的最小值為=5．
解：設BE=x，則EC=4﹣x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴=，即=，解得FC=，
∴DF=4﹣FC=4﹣=x²﹣x+4=（x﹣2）²+3
當x=2時，DF有最小值3，
∵AF²=AD²+DF²，
∴AF的最小值為=5．
故答案為：5．