Question

如圖1，點O是邊長為1的等邊△ABC內的任一點，設∠AOB=α°，∠BOC=β°

（1）將△BOC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△ADC，連結OD，如圖2所示．求證：OD=OC．
（2）在（1）的基礎上，將△ABC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△EAC，連結DE，如圖3所示．求證：OA=DE
（3）在（2）的基礎上，當α、β滿足什么關系時，點B、O、D、E在同一直線上．并直接寫出AO+BO+CO的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質就可以得出∠DOC=60°，OC=CD，進一步可以得出△DCO為等邊三角形，即可以得出結論；
（2）根據旋轉的性質就可以得出△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，再由全等的性質可以得出△EAD≌△ABO，從而就可以得出結論；
（3）根據旋轉的性質就可以得出△ADC≌△BOC，△EAD≌△ABO，就可以得出∠α=∠β=120°，再利用勾股定理就可以求出結論．

解答：解：（1）∵△BOC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△ADC，
∴CO=CD，∠DOC=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴DO=CO；
（2）∵△BOC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△EDC，△ABC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△EAC，
∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，
∴AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，
∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC，
即∠DAE=∠OBA，
在△EAD和△ABO中，

AD=BO ∠DAE=∠OBA AE=BA

，
∴△EAD≌△ABO，
∴OA=DE；
（3）∵△ABC繞點C沿順時針方向旋轉60°得△EAC，
∴AB=BC=CE=AE，
∴四邊形ABCE是菱形．
∵B、O、D、E在同一直線上，
∴B、O、D、E是菱形ABCE的對角線，
∴∠ABO=30°．
∵△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，
∴∠ADC=∠BOC=β，∠ADE=∠AOB=α，
∴∠CDE=360°-α-β．
∵△COD是正三角形，
∴∠COD=∠CDO=60°．
∵點B、O、D、E在同一直線上，
∴∠BOC=∠CDE=120°，
∴∠ADC=120°，
∴∠ADE=120°，
∴α=β=120°．
∴∠BAO=30°．
∴∠BAO=∠ABO，
∴AO=BO，
同理可得：AO=CO．
∴AO=BO=CO．
作OF⊥AB于F，設BF=a，則BO=2a，
∴∠BFO=90°，BF=

1

2

AB=

1

2

，
在Rt△BOF中，由勾股定理，得
a=

3

6

，
∴BO=

3

3

，
∴AO+BO+CO=

3

，
即AO+BO+CO的最小值為

3

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質的運用，旋轉的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，解答時靈活運用等邊三角形的性質和證明三角形全等是解答本題的關鍵．