Question

如圖，點B是函數y=

1

x

和y=x的圖象在第一象限的交點，點E在函數y=

1

x

的圖象上，過B、E兩點作x軸的垂線，垂足分別為C、F，直線EF與直線y=x交于點D．試判斷DF+EF與2BC的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：先解方程組

y=x y= 1 x

得到B點坐標（1，1），則BC=1；然后設D的坐標為（a，a），a≠1，則E點的橫坐標為a，利用E在函數y=

1

x

圖象上得到E點坐標為（a，

1

a

），得到DF=|a|，EF=|

1

a

|，根據|a|+|

1

a

|=（|a|-|

1

a

|）²+2＞2，即可得到DF+EF＞2BC．

解答：解：DF+EF＞2BC．理由如下：
聯立

y=x y= 1 x

，解得

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

，
∴點B的坐標為（1，1），
∴BC=1；
設D的坐標為（a，a），a≠1，
∵EF⊥x軸，
∴E點的橫坐標為a，
把x=a代入y=

1

x

=

1

a

，
∴E點坐標為（a，

1

a

），
∴DF=|a|，EF=|

1

a

|，
∴|a|+|

1

a

|=（|a|-|

1

a

|）²+2＞2，
∵a≠1，
∴（|a|-|

1

a

|）²＞0，
∴|a|+|

1

a

|＞2，
∴DF+EF＞2BC．

點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在圖象上，則點的橫縱坐標滿足圖象的解析式；兩圖象的交點坐標就是由兩個圖象的解析式所組成的方程組的解．也考查了一次函數以及代數式的變形能力．