Question

已知拋物線 a≠0）的對稱軸是直線l，頂點為點M．若自變量x和函數值y₁的部分對應值如下表所示：

x	…	―1	0	3	…
	…	0		0	…

（1）求y₁與x之間的函數關系式；
（2）若經過點T（0，t）作垂直于y軸的直線l′，A為直線l′上的動點，線段AM的垂直平分線交直線l于點B，點B關于直線AM的對稱點為P，記P（x，y₂）．
①求y₂與x之間的函數關系式；
②當x取任意實數時，若對于同一個x，有y₁＜y₂恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵拋物線經過點（0，），∴c=。∴。
∵點（－1，0）、（3，0）在拋物線上，
∴，解得。
∴y₁與x之間的函數關系式為：。
（2）∵，∴。
∴直線l為x=1，頂點M（1，3）．
①由題意得，t≠3，
如圖，記直線l與直線l′交于點C（1，t），

當點A′與點C不重合時，
∵由已知得，AM與BP互相垂直平分，
∴四邊形ANMP為菱形。∴PA∥l。
又∵點P（x，y₂），∴點A（x，t）（x≠1）。∴。
過點P作PQ⊥l于點Q，則點Q（1，y₂），∴，。
在Rt△PQM中，∵，即。
整理得，，即。
當點A與點C重合時，點B與點P重合，
∴P（1，）。∴P點坐標也滿足上式。
∴y₂與x之間的函數關系式為（t≠3）。
②根據題意，借助函數圖象：
當拋物線y₂開口方向向上時，6－2t＞0，即t＜3時，拋物線y₁的頂點M（1，3），拋物線y₂的頂點（1，），
∵3＞，∴不合題意。
當拋物線y₂開口方向向下時，6－2t＜0，即t＞3時，
，
若3t－11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，只要拋物線開口方向向下，且頂點（1，）在x軸下方，
∵3－t＜0，只要3t－11＞0，解得t＞，符合題意。
若3t－11=0，，即t=也符合題意。
綜上所述，可以使y₁＜y₂恒成立的t的取值范圍是t≥。

解析試題分析：（1）先根據物線經過點（0， ）得出c的值，再把點（－1，0）、（3，0）代入拋物線y₁的解析式即可得出y₁與x之間的函數關系式。
（2）先根據（I）中y₁與x之間的函數關系式得出頂點M的坐標．
①記直線l與直線l′交于點C（1，t），當點A′與點C不重合時，由已知得，AM與BP互相垂直平分，故可得出四邊形ANMP為菱形，所以PA∥l，再由點P（x，y2）可知點A（x，t）（x≠1），所以，過點P作PQ⊥l于點Q，則點Q（1，y₂），故，，在Rt△PQM中，根據勾股定理即可得出y2與x之間的函數關系式，再由當點A與點C重合時，點B與點P重合可得出P點坐標，故可得出y₂與x之間的函數關系式。
②據題意，借助函數圖象：
當拋物線y₂開口方向向上時，可知6－2t＞0，即t＜3時，拋物線y₁的頂點M（1，3），拋物線y₂的頂點（1， ），由于3＞，所以不合題意。
當拋物線y₂開口方向向下時，6－2t＜0，即t＞3時，求出的值。若3t－－11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，只要拋物線方向向下及且頂點（1， ）在x軸下方，因為3－t＜0，只要3t－11＞0，解得t＞，符合題意；若3t－11=0，，即t=也符合題意。