Question

閱讀下列材料，解答下列問題
如圖（1），射線AD、BE、CF構成∠1、∠2、∠3，若∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，則∠1+∠2+∠3=

360°

；
因為∠2=180°-∠ACB，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
所以∠2=180°-（180°-∠BAC-∠ABC）
=∠BAC+∠ABC
因為∠2=∠ACE，即：∠ACE=∠BAC+∠ABC

如圖（2），在△ABC中，∠A=a，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A₁，得∠A₁；∠A₁BC與∠A₁CD的平分線相交于點A₂，得∠A₂；…；∠A₆BC與∠A₆CD的平分線相交于點A₇，得∠A₇=

a

27

；∠A_n-1BC與∠A_n-1CD的平分線相交于點A_n，得∠A_n，求∠A_n（寫出推理過程）．

Answer 1

分析：根據三角形外角性質得出∠1=∠BAC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ABC，∠3=∠ACB+∠ABC，相加即可求出∠1+∠2+∠3，根據三角形外角性質得出∠ACD=∠BAC+∠ABC，推出

1

2

α+

1

2

∠ABC=∠A₁+

1

2

∠ABC，求出∠A₁=

1

2

α；再求出∠A₂，即可得出規律，求出即可．

解答：解：∵∠1=∠BAC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ABC，∠3=∠ACB+∠ABC，
∠1+∠2+∠3=2∠BAC+2∠ABC+2∠ACB=2×180°=360°；

根據題意，得∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∵∠ABC與∠ACD的平分線交于點A₁，
∴

1

2

α+

1

2

∠ABC=∠A₁+

1

2

∠ABC，即：∠A₁=

1

2

α；
以此類推，得∠A₂=

α

22

； …；∠A₇=

α

27

=

α

128

，
∴∠A_n=

α

2n

．
故答案為：360°，

a

27

．

點評：本題考查了三角形外角性質，三角形的內角和定理的應用，關鍵是能根據求出結果得出規律．