Question

【題目】在△ABC中，點D、E分別在邊AC、BC上（不與點A、B、C重合），點P是直線AB上的任意一點（不與點A、B重合）．設∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．

（1）如圖，當點P在線段AB上運動，且n=90°時

①若PD∥BC，PE∥AC，則m=_____；

②若m=50°，求x+y的值．

（2）當點P在直線AB上運動時，直接寫出x、y、m、n之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①90°，②140°；（2）詳見解析.

【解析】分析：（1）①證明四邊形DPEC為平行四邊形可得結論；
②根據四邊形內角和為360°，列等式求出x+y的值；
（2）根據P、D、E位置的不同，分五種情況：①y-x=m+n，如圖2，點P在BA的延長線上時，根據三角形的內角和與外角定理列等式，化簡后得出結論；
②x-y=m-n，如圖3，點P在BA的延長線上時，根據三角形的內角和與外角定理列等式，化簡后得出結論；
③x+y=m+n，如圖4，點P在線段BA上時，根據四邊形的內角和為360°列等式，化簡后得出結論；
④x-y=m+n，如圖5，同理得出結論；
⑤y-x=m-n，如圖6，同理得出結論．

詳解：（1）①如圖1，

∵PD∥BC，PE∥AC，
∴四邊形DPEC為平行四邊形，
∴∠DPE=∠C，
∵∠DPE=m，∠C=n=90°，
∴m=90°；
②∵∠ADP=x，∠PEB=y，
∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，
∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，
∠C=90°，∠DPE=50°，
∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，
∴x+y=140°；

（2）分五種情況：

①y﹣x=m+n，如圖2，

理由是：

∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，

∴∠DFP=n+180°﹣y，

∵x+m+∠DFP=180°，

∴x+m+n+180°﹣y=180°，

∴y﹣x=m+n；

②x﹣y=m﹣n，如圖3，

理由是：

同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，

∴x﹣y=m﹣n；

③x+y=m+n，如圖4，

理由是：

由四邊形內角和為360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，

∴x+y=m+n；

④x﹣y=m+n，如圖5，

理由是：

同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，

∴x﹣y=m+n；

⑤y﹣x=m﹣n，如圖6，

理由是：

同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，

∴y﹣x=m﹣n．