Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，連接AC、BD，M、N分別是AC、BD的中點，連接MN

(1)求證：MN⊥BD.

(2)若∠DAC=62°，∠BAC=58°，求∠DMB

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 120o

【解析】

（1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM，再由等腰三角形三線合一的性質即可得到結論；

（2）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AM＝BM，DM＝AM,再根據等邊對等角求∠ABM和∠ADM的度數，再根據四邊形內角和為360o求得∠DMB的度數.

（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中點，
∴BM=AC，DM=AC，
∴BM=DM，

∴△BDM是等腰三角形，
又∵N是BD的中點，
∴MN⊥BD（等腰三角形三線合一）；

（2）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中點，

∴BM=AM=AC，DM=AM=AC，

又∵∠BAC=58°，∠DAC=62°，

∴∠ABM＝∠BAC=58°，∠ADM＝∠DAC=62°，

又∵四邊形ABMD的內角和為360o,

∴∠DMB=360o-2(58°+62°)=120o.