Question

【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸正半軸交于點A（3,0）,與y軸交于點B（0,3），點P是x軸上一動點,過點P作x軸的垂線交拋物線于點C,交直線AB于點D，設P（x,0）．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）當0＜x＜3時,求線段CD的最大值；

（3）在△PDB和△CDB中,當其中一個三角形的面積是另一個三角形面積的2倍時,求相應x的值；

（4）過點B，C，P的外接圓恰好經過點A時,x的值為 ．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2+2x+3；(2) ；（3）x=±或x=±2；（4）x=± .

【解析】分析：（1）用待定系數法求出拋物線解析式即可；（2）先確定出直線AB解析式，進而得出點D，C的坐標，即可得出CD的函數關系式，即可得出結論；（3）先確定出CD=|-x2+3x|，DP=|-x+3|，再分兩種情況解絕對值方程即可；

（4）利用四個點在同一個圓上，得出過點B，C，P的外接圓的圓心既是線段AB的垂直平分線上，也在線段PC的垂直平分線上，建立方程即可．

本題解析：

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸正半軸交于點A（3，0），與y軸交于點B（0，3），∴﹣9+3b+c=0，c=3，∴b=2，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）∵A（3，0），B（0，3），∴直線AB解析式為y=﹣x+3，

∵P（x，0）．∴D（x，﹣x+3），C（x，﹣x2+2x+3），

∵0＜x＜3，∴CD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，當x=時，CD最大=；

（3）由（2）知，CD=|﹣x2+3x|，DP=|﹣x+3|

①當S△PDB=2S△CDB時，∴PD=2CD，即：2|﹣x2+3x|=|﹣x+3|，∴x=±或x=3（舍），

②當2S△PDB=S△CDB時，∴2PD=CD，即：|﹣x2+3x|=2|﹣x+3|，∴x=±2或x=3（舍），

即：綜上所述，x=±或x=±2；

（4）直線AB解析式為y=﹣x+3，∴線段AB的垂直平分線l的解析式為y=x，

∵過點B，C，P的外接圓恰好經過點A，

∴過點B，C，P的外接圓的圓心既是線段AB的垂直平分線上，也在線段PC的垂直平分線上，

∴，∴x=±，故答案為：