Question

【題目】如圖1，△ABC內接于，點D是的中點，且與點C位于AB的異側，CD交AB于點E.

（1）求證：△ADE∽△CDA

（2）如圖2，若的直徑AB，CE=2，求AD和CD的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），.

【解析】

（1）根據“同弧或等弧所對的圓周角相等”證角相等，進而可證三角形相似；

（2）連接BD，先證三角形ADB為等腰直角三角形，求出AD的長，再根據（1）中的相似三角形得出比例式求解即可.

（1）∵點D是的中點，

∴

∴∠ACD=∠BAD

∵∠ADE=∠CDA

∴△ADE∽△CDA

（2）連結BD，

∵點D時的中點，

∴AD=BD

∵AB是的直徑，

∴∠ADB=90°

∴△ADB為等腰直角三角形，

∴，

由（1）得△ADE∽△CDA

∴，即，

∴，

∴，

解得CD=8或-6（負值舍去）

∴CD=8.