Question

如圖拋物線y=a（x-1）²+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，D是拋物線的頂點，已知CD=

2

；
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上共有三個點到直線BC的距離為m，求m的值；
（3）將（1）中的拋物線向上平移t（t＞0）個單位，與直線CD交于點G、H，設平移后的拋物線的頂點為D₁，與y軸的交點為C₁，是否存在實數t，使得DH⊥HD₁，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據解析式直接得出頂點D的坐標，又可根據CD的長得出C的坐標，代入解析式中即可得出a的值，即得拋物線的解析式；
（2）根據平移的性質寫出直線平移后的方程，則第三個點一定是直線MN與拋物線的唯一公共點，聯立拋物線的方程，使判別式等于0，即可得出b的平移后的直線方程，作CP⊥MN于P，即可得出m的值；
（3）易判斷CC₁D₁D為平行四邊形和△DHD₁為等腰直角三角形，由點H在新拋物線上，代入H的坐標，即可得出t的值．

解答：解：（1）∵D（1，4），CD=

2

，
∴C（0，3），
∴a=-1，
∴y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3；

（2）∵B（3，0）、C（0，3），
∴直線BC：y=-x+3，將直線BC向上平移b個單位得直線MN：y=-x+3+b，
則第三個點一定是直線MN與拋物線的唯一公共點，
聯立

y=-x+3+b y=-x2+2x+3

，
消去y得：x²-3x+b=0，
由△=0
得到b=

9

4

，
作CP⊥MN于P，則∠CMN=∠OCB=45°，
CM=

9

4

，
∴m=CP=

9 2

8

；

（3）由CC₁=DD₁=t，CC₁∥DD₁，
∴CC₁D₁D為平行四邊形，
∴C₁D₁∥CD，
∴∠C₁D₁D=∠CDE=45°，
∵DH⊥HD₁，∴∠DD₁H=45°，
即△DHD₁為等腰直角三角形，且DD₁=t，
∴H（

1

2

t+1，

1

2

t+4），
由點H在新拋物線y=-x²+2x+3+t上，
∴-(

1

2

t+1)2+2（

1

2

t+1）+3+t=

1

2

t+4，
解得t=2或t=0（舍），
∴t=2．

點評：此題考查了拋物線解析式的確定、平行四邊形的判定及性質、三角形面積的求法等重要知識點本題的難點在于考慮問題要全面，讀懂題意．