Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），頂點坐標（1，n）與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），則下列結論：①3a+b<0；②-1≤a≤-；③對于任意實數m，a+b≥am2+bm總成立；④關于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數根．其中結論正確的個數為( )

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用拋物線開口方向得到a＜0，再由拋物線的對稱軸方程得到b=-2a，則3a+b=a，于是可對①進行判斷；利用2≤c≤3和c=-3a可對②進行判斷；利用二次函數的性質可對③進行判斷；根據拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點可對④進行判斷．

∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

而拋物線的對稱軸為直線x=-=1，即b=-2a，

∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正確；

∵2≤c≤3，

而c=-3a，

∴2≤-3a≤3，

∴-1≤a≤-，所以②正確；

∵拋物線的頂點坐標（1，n），

∴x=1時，二次函數值有最大值n，

∴a+b+c≥am2+bm+c，

即a+b≥am2+bm，所以③正確；

∵拋物線的頂點坐標（1，n），

∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點，

∴關于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數根，所以④正確．

故選D．