Question

如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊為△BFE,點F落在AD上.

(1)求證：△ABF∽△DFE
(2)若△BEF也與△ABF相似，請求出的值 .

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

解析試題分析：（1）在△ABF與△DFE中的對應角∠A=∠D=90°，∠2=∠1，易證△ABF∽△DFE；
（2）需要分類討論：①△ABF∽△FBE；②△ABF∽△FEB時求出的值．
試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°.
∵△BCE沿BE折疊為△BFE，∴∠BFE=∠C="90°." ∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°.
又∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DFE。∴△ABE∽△DFE.
（2）①當△ABF∽△FBE時，∠2=∠4．
∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，∴∠2=∠4=∠5=30°.
∴設CE=EF=x，則BC=x，DE=x. ∴DC=x. ∴.
②當△ABF∽△FEB時，∠2=∠6，
∵∠4+∠6=90°，∴∠2+∠4=90°，這與∠2+∠4+∠5=90°相矛盾. ∴△ABF∽△FEB不成立．
綜上所述，的值是.

考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.矩形的性質；3.相似三角形的判定和性質；4.解直角三角形；5.分類思想的應用.