Question

已知，如圖，△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AC+AB=2BC，O是BC上一點，以O為圓心、OB為半徑的圓與AC切于點D，交BC于點E．
（1）求CD的長；（2）求CE的長；（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，設AB=x，由已知得AC=2BC-AB=8-x，根據勾股定理得x的方程，求出AB和AC，由切線的性質得AD=AB，從而求出CD的長；
（2）連接BD、DE，由切線的性質得∠CDE=∠CBD，∠C=∠C，所以得△CDE∽△CBD，從而求出CE的長；
（3）由（2）求得CE的長，可求得圓的直徑BE，則圖中陰影部分的面積=三角形ABC的面積-半圓的面積．

解答：解：（1）在直角三角形ABC中，設AB=x，由已知得AC=2BC-AB=8-x，根據勾股定理得：
x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
即AB=3，則AC=8-3=5，
∵以O為圓心、OB為半徑的圓與AC切于點D，
∵∠B=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB與圓O相切，
∴AD=AB=3，
所以CD=AC-AD=5-3=2；

（2）連接BD、DE，
∵以O為圓心、OB為半徑的圓與AC切于點D，
∴∠CDE=∠CBD，
又∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBD，
∴

CD

BC

=

CE

CD

，
∴CE=

CD•CD

BC

=

2×2

4

=1；

（3）BE=BC-CE=4-1=3，
∴OB=

3

2

，
∴圖中陰影部分的面積=三角形ABC的面積-半圓的面積
=

1

2

AB•BC-

1

2

π•（OB）²
=

1

2

×3×4-

1

2

×π×(

3

2

)2
=6-

9

8

π．

點評：此題考查的知識點是切線的性質，關鍵是運用勾股定理及相似三角形求出相應的值解答此題．