Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2．

（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADC=∠ACB，∠B+∠BAC=90°，∠DCA+∠CAB=90°，

∴∠B=∠ACD，

∴△ABC∽△ACD

（2）解：∵△ABC∽△ACD，

∴ = ，

∴AC2=ADAB=6×8=48，

∴CD= = =2 ，

∴S△ABC= ABCD= × =8 ，

∴S陰=S半圓﹣S△ABC=8 ．

【解析】（1）根據兩角對應相等的兩個三角形相似即可證明．（2）先利用△ABC∽△ACD，得AC2=ADAB=48，再利用勾股定理求出CD，根據S陰=S半圓﹣S△ABC即可解決問題．
【考點精析】利用扇形面積計算公式和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．