Question

【題目】如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC=30°，將一直角三角板（∠M=30°）的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方．

(1)將圖1中的三角板繞點O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉一周．如圖2，經過t秒后OM恰好平分∠BOC，則t=　 　（直接寫結果）

(2)在(1)問的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線OC也繞O點以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖3，那么經過多少秒后OC平分∠MON？請說明理由；

(3)在(2)問的基礎上，那么經過多少秒∠MOC=36°？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）5秒時OC平分∠MON，理由詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）構建方程即可解決問題；
（2）根據∠MOC=45°，構建方程求解即可；

（3）根據∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，設∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，再根據題意列出方程求解即可.

（1）①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，

∵∠AOC=30°，

∴∠BOC=2∠COM=150°，

∴∠COM=75°，

∴∠CON=15°，

∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，

解得：t=15°÷3°=5秒；

②是，理由如下：

∵∠CON=15°，∠AON=15°，

∴ON平分∠AOC；

（2）5秒時OC平分∠MON，理由如下：

∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，

∵∠MON=90°，

∴∠CON=∠COM=45°，

∵三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉，

設∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，

∵∠AOC﹣∠AON=45°，

可得：6t﹣3t=15°，

解得：t=5秒；

（3）如上圖：OC平分∠MOB

∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，

∵三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉，

設∠AON為3t，∠AOC為30°+6t，

∴∠COM為（90°﹣3t），

∵∠BOM+∠AON=90°，

可得：180°﹣（30°+6t）=（90°﹣3t），

解得：t=秒；

答：經過秒∠MOC=36°．