Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的⊙O與AD，AC分別交于點E，F，且∠ACB=∠DCE，tan∠ACB=，BC=2cm．以下結論：

①CD=cm； ②AE=DE； ③CE是⊙O的切線； ④⊙O的面積等于cm2．其中正確的結論有_____．（填序號）

Answer 1

【答案】①②③．

【解析】

根據正切的定義可以求出AB，由矩形的性質得到CD長，判斷①；根據正切的定義求出DE和AE，判斷②；根據切線的判定定理判斷③；求出⊙O的半徑，求出面積，判斷④.

∵tan∠ACB=，

∴=，又BC=2cm，

解得AB=cm，即CD=cm，①正確；

∵∠ACB=∠DCE，tan∠ACB=，

∴tan∠DCE=，即=，

解得，DE=1，

∵BC=2，

∴AE=1，

∴AE=DE，②正確；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴∠DAC=∠DCE；

連接OE，則∠DAC=∠AEO=∠DCE；

∵∠DCE+∠DEC=90°，

∴∠AE0+∠DEC=90°，

∴∠OEC=90°，即OE⊥CE，

又OE是⊙O的半徑，

∴直線CE與⊙O相切，③正確；

在Rt△ADC中，AC=，

在Rt△CEO中，CE2+OE2=OC2，即（）2+12+OE2=（﹣OE）2，

解得，OE=，

④⊙O的面積=π×（）2=π，④錯誤，

故答案為：①②③．