Question

如圖，點A的坐標為（1，1），點C是線段OA上的一個動點（不運動至O，A兩點），過點C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側作正方形CDEF．連接AF并延長交x軸的正半軸于點B，連接OF，若以B，E，F為頂點的三角形與△OFE相似，B點的坐標是

 

．

Answer 1

分析：根據點A坐標是（1，1）可以確定∠AOB=45°，又四邊形CDEF是正方形，所以0D=CD=DE，即可證明△OFE的邊OE=2EF，再根據“以B，E，F為頂點的三角形與△OFE相似”分①EF=2EB，②EB=2EF兩種情況討論，根據△ACF與△AOB相似，相似三角形對應高的比等于對應邊的比列出比例式計算即可求出正方形的邊長，從而OB的長亦可求出．

解答：解：過點A作AH⊥OB，
∵點A的坐標為（1，1），
∴AH=OH=1，∠AOB=45°，
∴OD=CD，
設CF=x，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CF∥DE，CD=CF=EF=DE，
∴CD=CF=EF=DE=x，
∴OE=OD+DE=2EF，
∵以B，E，F為頂點的三角形與△OFE相似，
∴①EF=2EB，則EB=

1

2

x，
∴OB=OE+EB=2x+

1

2

x=

5

2

x，
∵CF∥DE，
∴△ACF∽△AOB，
∴

CF

OB

=

1-x

1

，
即

x

5 2 x

=1-x，
解得x=

3

5

，
OB=

5

2

×

3

5

=

3

2

，
∴點B的坐標為（

3

2

，0），
②EB=2EF時，則EB=2x，
∴OB=OE+EB=2x+2x=4x，
∵CF∥DE，
∴△ACF∽△AOB，
∴

CF

OB

=

1-x

1

，
即

x

4x

=1-x，
解得x=

3

4

，
OB=4x=4×

3

4

=3，
∴點B的坐標為（3，0）．
綜上所述，點B的坐標是（

3

2

，0）或（3，0）．
故答案為：（

3

2

，0）或（3，0）．

點評：此題考查了相似三角形的性質對應高的比等于對應邊的比的性質，解題的關鍵是根據點A的坐標（1，1）確定出OE=2EF，注意要分情況討論，避免漏解．