Question

如果一個多邊形的各條邊相等，各個角相等，那么這樣的多邊形叫做正多邊形．當這樣的多邊形邊數為n時，叫正n邊形，如n=3時稱為正三角形或等邊三角形，n=4時稱為正方形．
（1）春節期間，某單位要在正三角形花臺的三邊上擺放花盆，每邊上的花盆個數為m，花盆總數為S．其擺放情況如圖1：
按如此規律擺下去，當m=2010時，花盆的總數為多少？
（2）如果我們要設計一組等邊三角形花臺，其邊長依次為1，3，6，10，15，21，…（單位：米），按照如此規律，第n個三角形花臺與第（n-1）（n≥2）個三角形花臺周長的差為多少？
（3）作出如圖2一組正方形，邊長分別為1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個正方形開始，每一個正方形的邊長都等于它前面兩個正方形邊長之和：
現分別依次從左到右取2個，3個，4個，5個，…，正方形拼成如圖3矩形，并記為①②③④…．
若按此規律繼續作矩形，請求出序號為⑩的矩形的周長和面積（如果表示面積的數據太大，可列出式子，不必計算出最后結果）．

Answer 1

分析：（1）直接觀察圖形進行解答，并從中發現規律：當每條邊有n盆花時，S=3m-3，代入數據即可求解；
（2）先根據題意得出通項公式a_n=

n(n+1)

2

，然后計算即可；
（3）按照前一個長方形的長是后一個長方形的寬，長與寬的和是后一個長方形的長，依次進行計算即可得解．

解答：解：（1）依題意得：①m=2，S=3=3×2-3．
②m=3，S=6=3×3-3．
③m=4，S=9=3×4-3
④m=10，S=27=3×10-3．
…
⑤按此規律推斷，當每條邊有m盆花時，S=3m-3．
當n=2010時，S=3×2010-3=6027；
（2）觀察數據發現第n個數為

n(n+1)

2

，第n-1個數據為

(n-1)n

2

，
故

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，周長差為3n；
（3）序號為⑤的長方形周長為2（8+13）=42，面積為：8×13
序號為⑥的長方形周長為2（13+21）=68，面積為：12×21；
序號為⑦的長方形周長為2（21+34）=110，面積為：21×34；
序號為⑧的長方形周長為2（34+55）=178，面積為：34×55；
序號為⑨的長方形周長為2（55+89）=288．面積為55×89
序號為⑩的長方形周長為2（89+144）=466．面積為89×144；

點評：主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．