Question

【題目】如圖一：在Rt△ABC中，∠C=90°AD、BE分別是△ABC中∠A、∠B的平分線，AD、BE交于點F，過F點做FH⊥AD交AC于點H，易證：AH+DB=AB;

（1）若將Rt△ABC中∠BAC、∠ABC的內角平分線改成外角平分線，即：AF、BF分別是∠BAC、∠ABC的外角平分線交于F點，FH⊥AF交直線AC于H點，如圖二:請寫出線段AH、BD、AB之間的數量關系，并證明。

（2）若將Rt△ABC中∠BAC、∠ABC的內角平分線改成一個是外角平分線，即：AF是∠A的內角平分線，BE是∠B的外角平分線交于F點，FH⊥AD交AC于點H.如圖三：請寫出線段AH、BD、AB之間的數量關系，無需證明。

Answer 1

【答案】(1) AH=AB+BD ,證明見解析;(2) AH=AB+BD

【解析】(1)的結論是：AH=AB+BD

(2)的結論是：AH=AB+BD

(1)的結論證明如下：

∵AF平分∠BAH

∴∠BAF=∠HAF

∵AF⊥HM

∴△HAF≌△MAF

∴AH=AM ∠AHF=∠M

∵AF平分∠BAH

∴∠ABF=∠FBN

∵∠AHF+∠HAF=90°

∵∠DAC+∠ADB=90°

∴∠ADB=∠AHF

∴∠FDB=∠BMF

∴△DFB≌△MFB

∴DB=BM

∵AM=AB+BM

∴AH=AB+DB