Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，矩形DEFG的頂點G與△ABC的頂點C重合，邊GD、GF分別與AC，BC重合。GD=12，GF=16，矩形DEFG沿射線CB的方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，點Q從點B出發沿BA方向以每秒5個單位長的速度勻速運動，過點Q作射線QK⊥AB，交折線BC-CA于點H，矩形DEFG、點Q同時出發，當點Q到達點A時停止運動，矩形DEFG也隨之停止運動。設矩形DEFG、點Q運動的時間是t秒（t＞0）。（1）求線段DF的長；
（2）求運動過程中，矩形DEFG與Rt△ABC重疊部分的面積s與t的函數關系式（寫出自變量的取值范圍）；
（3）射線QK能否把矩形DEFG分成面積相等的兩部分？若能，求出t值，若不能，說明理由；
（4）連接DH，當DH∥AB時，請直接寫出t值。

Answer 1

（1）連接DF，在Rt△CDF中，CD=12，CF=16，根據勾股定理：
DF==20           
（2）①當0＜t ≤2時，s=12×16=192   
②當2＜t ＜6時，設矩形DEFG的邊EF交AB于點M，邊DE交AB于點N
∵  BF="24-4t" tanB=  
∴MF=(24-4t)=18-3t   EM=3t-6    NE=EM=4t-8
∴s=192-EM.EN=192-6    
③當6≤t≤10時,設DG與AB交于點M，BF="40-" 4t
s=MF.FB=    
(3)能,當QK經過矩形DEFG的對稱中心O時,就可以把矩形DEFG分成面積相等的兩部分;                                                
∵在Rt△CDF與Rt△CAB中, ∠C=90°      
∴Rt△CDF∽Rt△CAB   ∴∠CFD=∠B   ∴DF∥AB
DF=20,    OF=10   BF=24-4t  HF==   QB=5t
∴         
t=                   
(4) t=                

（1）由勾股定理即可求出DF的長；
（2）分0＜t ≤2，2＜t ＜6，6≤t≤10三種情況進行討論；
（3）連接DF，過點F作FH⊥AB于點H，由四邊形CDEF為矩形，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，根據△HBF∽△CBA，對應邊的比相等，就可以求得t的值；
（4）當PG∥AB時四邊形PHQG是矩形，由此可以直接寫出t．