Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c的頂點為Q，與x軸交于A（-1，0）、B（5，0）兩點，與y軸交于C點．
（1）直接寫出拋物線的解析式及其頂點Q的坐標；
（2）在該拋物線的對稱軸上求一點P，使得△PAC的周長最�。�請在圖中畫出點P的位置，并求點P的坐標．

Answer 1

（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經過點A（-1，0）、B（5，0），
∴

-1-b+c=0 -25+5b+c=0

，
解得

b=4 c=5

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5，
∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴Q（2，9）；

（2）如圖，連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC
∵AC長為定值，
∴要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最小．
∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是點B（5，0），拋物線y=-x²+4x+5與y軸交點C的坐標為（0，5），
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小，
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
將B（5，0）、C（0，5）代入得

5k+b=0 b=5

，
解得

k=-1 b=5

，
∴y=-x+5，
當x=2時，y=-2+5=3，
∴點P的坐標為（2，3）．