Question

【題目】已知：如圖1，二次函數y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象與y軸交于點C（0，﹣4），與x軸交于點A、B兩點，點A的坐標為（4，0）．

（1）求該拋物線的函數解析式；

（2）點P（t，0）是線段OB上一動點（不與O、B重合），點E是線段BC上的點，以點B、P、E為頂點的三角形與三角形ABC相似，連結CP，求△CPE的面積S與t的函數關系式；

（3）如圖2，若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點Q，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0），則存在這樣的直線，使得△ODF為等腰三角形，請直接寫出點Q坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）S=﹣t2﹣t+；（3）存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，點Q的坐標為：Q1（1+，﹣2）或Q2（1﹣，﹣2）或Q3（1+，﹣3）或Q4（1﹣，﹣3）．

【解析】

試題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）可先設P的坐標為（m，0）；根據相似三角形的性質，可得S△BEP，根據S△CPE=S△BOC﹣S△BPE﹣SOPC，可得函數關系式；

（3）本題要分三種情況進行求解：①當OD=OF時，根據等腰直角三角形，可得出F的坐標應該是（2，2），根據F的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出Q的坐標；②當OF=DF時，根據線段垂直平分線的性質，可得OM=1，根據等腰直角三角形的性質，可得FM=AM=3，也就得出了F的縱坐標，根據①的方法求出Q的坐標；③當OD=OF時，OF=2，由于O到AC的最短距離為2，因此此種情況是不成立的，綜合上面的情況即可得出符合條件的P的坐標

解：（1）把C（0，﹣4）和A（4，0）代入y=ax2﹣2ax+c（a＞0）得，

，解得

解析式為y=x2﹣x﹣4；

（2）BP=t+2，OP=﹣t，S△ABC=4×6÷2=12，S△OPC=4×（﹣t）÷2=2t，

①△BPE∽△BAC，則=，

則=（）2，S△BPE=（）2×12=

S△CPE=S△BOC﹣S△BPE﹣SOPC=4﹣﹣（﹣2t）=﹣t2+t+

②△BEP∽△BAC，則=，

則=（）2，S△BEP=（）2×12=

S△CPE=S△BOC﹣S△BPE﹣SOPC=4﹣﹣（﹣2t）=﹣t2﹣t+

（3）存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形，理由為：

在△ODF中，分三種情況考慮：

①若DO=DF，如圖1：

，

∵A（4，0），D（2，0），

∴AD=OD=DF=2，

又在Rt△AOC中，OA=OC=4，

∴∠OAC=45°，

∴∠DFA=∠OAC=45°，

∴∠ADF=90°，

此時，點F的坐標為（2，﹣2），

由x2﹣x﹣4=﹣2，

解得：x1=1+，x2=1﹣，

此時，點P的坐標為：P（1+，﹣2）或P（1﹣，﹣2）；

②若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M，如圖2：

，

由等腰三角形的性質得：OM=OD=1，

∴AM=3，

∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，

∴F（1，3），

由x2﹣x﹣4=﹣3，

解得：x1=1+，x2=1﹣，

此時，點P的坐標為：P（1+，﹣3）或P（1﹣，﹣3）；

③若OD=OF，

∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，

∴AC=4 ，

∴點O到AC的距離為2√2，而OF=OD=2＜2√2，與OF≥2√2矛盾，

所以AC上不存在點使得OF=OD=2，

此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形；

綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，點Q的坐標為：Q1（1+，﹣2）或Q2（1﹣，﹣2）或Q3（1+，﹣3）或Q4（1﹣，﹣3）．