Question

【題目】如圖，圓心都在x軸正半軸上的半圓O1，半圓O2，…，半圓On與直線相切，設半圓O1，半圓O2，…，半圓On的半徑分別是r1，r2，…，rn，則當r1=1時，r2015= ．

Answer 1

【答案】32014．

【解析】試題分析：過C1、C2、C3、…、Cn作直線的垂線，垂足分別為A1、A2、A3、An，如圖，根據切線的性質得C1A1⊥OA1，C2A2⊥OA2，C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn，再確定直線與x軸的正半軸的夾角為30°，接著利用兩圓相切的性質得到C1C2=r1+r2，C2C3=r2+r3，…，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系，在Rt△OC1A1中得到OC1=2C1A1=2，在Rt△OC2A2中得到2+1+r2=2r2，解得r2=3=31，在Rt△OC3A3中得到6+3+r3=2r3，解得r3=9=32，再觀察計算出來的半徑得到半徑都是3的正整數指數冪，且指數比序號數小1，于是得rn=3n﹣1．

試題解析：過C1、C2、C3、…、Cn作直線的垂線，垂足分別為A1、A2、A3、An，如圖，

∵a個半圓弧都與直線y=x相切，

∴C1A1⊥OA1，C2A2⊥OA2，C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn，

∵x=1時，y=x=，

∴直線y=x與x軸的正半軸的夾角為30°，

∵a個半圓弧依次相外切，

∴C1C2=r1+r2，C2C3=r2+r3，…，

在Rt△OC1A1中，OC1=2C1A1=2，

在Rt△OC2A2中，OC2=2C2A2，則2+1+r2=2r2，解得r2=3=31，

在Rt△OC3A3中，OC3=2C3A3，則6+3+r3=2r3，解得r3=9=32，

在Rt△OC4A4中，OC4=2C4A4，則18+9+r4=2r4，解得r4=27=33，

由此可得rn=3n﹣1．

∴r2015=32014．