Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，已知A(4，4)，B(-1，1)，EF=1，線段EF在x軸上平移，當四邊形ABEF的周長最小時，點E坐標是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

欲使四邊形ABEF的周長最小，由于線段AB與EF是定長，所以只需BE+AF最小．為此，先確定點E、F的位置：過點A作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，交x軸于點E，在x軸上截取線段EF=1，則點E、F的位置確定．再根據待定系數法求出直線A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出點E的橫坐標，進而得出點E的坐標．

如圖，過點A作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，交x軸于點E，在x軸上截取線段EF=1，則此時四邊形ABEF的周長最小．

∵A（4，4），

∴A′（3，4），

∵B（-1，1），

∴B′（-1，-1）．

設直線A′B′的解析式為y=kx+b，

則，

解得．

∴直線A′B′的解析式為y=，

當y=0時，=0，解得x=-．

故線段EF平移至如圖2所示位置時，四邊形ABEF的周長最小，此時點E的坐標為（-，0）．

故答案為：（-，0）．