Question

【題目】(2016·寧夏中考)如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于D，BC于E，連接ED，若ED＝EC.

(1)求證：AB＝AC；

(2)若AB＝4，BC＝2 ，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

(1)證明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.∵∠B＋∠ADE＝180°，∠EDC＋∠ADE＝180°，∴∠B＝∠EDC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；

(2)解：連接AE.∵AB為直徑，∴AE⊥BC.由(1)知AB＝AC，∴AC＝4，BE＝CE＝BC＝.∵∠C＝∠C，∠EDC＝∠B，∴△EDC∽△ABC，∴＝，即CE·BC＝CD·AC，∴·2＝4CD，∴CD＝.

【解析】試題分析： 由等腰三角形的性質(zhì)得到 由圓外接四邊形的性質(zhì)得到，由此推得 由等腰三角形的判定即可證得結(jié)論.

連接，由為直徑，可證得，由知 證明后即可求得的長．

試題解析：(1)∵ED＝EC，

∴∠EDC＝∠C.

∵∠B＋∠ADE＝180°，

∠EDC＋∠ADE＝180°，

∴∠B＝∠EDC，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC；

(2)連接AE.∵AB為直徑，

∴AE⊥BC.由(1)知AB＝AC，

∴AC＝4，

即CE·BC＝CD·AC，