Question

（2008•上海）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．二次函數y=-x²+bx+3的圖象經過點A（-1，0），頂點為B．
（1）求這個二次函數的解析式，并寫出頂點B的坐標；
（2）如果點C的坐標為（4，0），AE⊥BC，垂足為點E，點D在直線AE上，DE=1，求點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）將點A的坐標代入，可得出b的值，從而求出函數解析式，然后可得出頂點坐標；
（2）過點B作BF⊥x軸，垂足為點F，過點D作DH⊥x軸，垂足為點H．由題意知，點H在點A的右側，則可得出△ADH∽△ACE，從而有

AH

AE

=

DH

CE

=

AD

AC

，然后分別討論，①若點D在AE的延長線上，則AD=5，解出x和y的值，若點D在線段AE上，則AD=3，同理也可求出點D的坐標．

解答：解：（1）∵二次函數y=-x²+bx+3的圖象經過點A（-1，0），
∴0=-1-b+3，
解得：b=2，
所求二次函數的解析式為y=-x²+2x+3，
則這個二次函數圖象頂點B的坐標為（1，4）；

（2）過點B作BF⊥x軸，垂足為點F，
在Rt△BCF中，BF=4，CF=3，BC=5，
∴sin∠BCF=

4

5

，
在Rt△ACE中，sin∠ACE=

AE

AC

，
又∵AC=5，可得

AE

5

=

4

5

，
∴AE=4，
過點D作DH⊥x軸，垂足為點H．由題意知，點H在點A的右側，
易證△ADH∽△ACE，
∴

AH

AE

=

DH

CE

=

AD

AC

，
其中CE=3，AE=4，
設點D的坐標為（x，y），則AH=x+1，DH=y，
①若點D在AE的延長線上，則AD=5，

得

x+1

4

=

y

3

=

5

5

，
∴x=3，y=3，
所以點D的坐標為（3，3）；
②若點D在線段AE上，則AD=3．

得

x+1

4

=

y

3

=

3

5

，
∴x=

7

5

，y=

9

5

，所以點D的坐標為（

7

5

，

9

5

）．
綜上所述，點D的坐標為（3，3）或（

7

5

，

9

5

）．

點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、相似三角形的判定與性質，解答本題的難點是第二問，關鍵是分類討論，注意不要漏解，難度一般．