Question

如圖，已知點A的坐標為（

3

，3），AB丄x軸，垂足為B，連接OA，反比例函數y=

k

x

（k＞0）的圖象與線段OA、AB分別交于點C、D．若AB=3BD，以點C為圓心，CA的

5

4

倍的長為半徑作圓，則該圓與x軸的位置關系是

 

（填”相離”，“相切”或“相交“）．

Answer 1

分析：根據D點的坐標為（

3

，1），得出反比例函數y=

k

x

解析式，再根據A點坐標得出AO直線解析式，進而得出兩圖象的交點坐標，進而得出AC的長度，再利用直線與圓的位置關系得出答案．

解答：解：∵已知點A的坐標為（

3

，3），AB=3BD，
∴AB=3，BD=1，
∴D點的坐標為（

3

，1），
∴反比例函數y=

k

x

解析式為：
y=

3

x

，
∴AO直線解析式為：y=kx，
3=

3

k，
∴k=

3

，
∴y=

3

x，
∴直線y=

3

x與反比例函數y=

3

x

的交點坐標為：
x=±1，
∴C點的橫坐標為1，
縱坐標為：

3

，
過C點做CE垂直于OB于點E，
則CO=2，
∴AC=2

3

-2，
∴CA的

5

4

倍=

5

2

(

3

-1)，
CE=

3

，
∵

5

2

(

3

-1)-

3

=

3

2

3

-

5

2

＞0，
∴該圓與x軸的位置關系是相交．
故答案為：相交．

點評：此題主要考查了直線與圓的位置關系以及反比例函數的性質以及直線與反比例函數交點坐標的求法，綜合性較強得出AC的長是解決問題的關鍵．