Question

【題目】如圖1（注：與圖2完全相同），二次函數y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該二次函數的解析式；
（2）設該拋物線的頂點為D，求△ACD的面積（請在圖1中探索）；
（3）若點P，Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，當P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ所在的直線翻折，點A恰好落在拋物線上E點處，請直接判定此時四邊形APEQ的形狀，并求出E點坐標（請在圖2中探索）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴ ，

解得： ，

∴y= x2﹣ x﹣4

（2）

解：過點D作DM⊥y軸于點M，

∵y= x2﹣ x﹣4= （x﹣1）2﹣ ，

∴點D（1，﹣ ）、點C（0，﹣4），

則S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC

= ×（1+3）× ﹣ ×（ ﹣4）×1﹣ ×3×4

=4；

（3）

解：四邊形APEQ為菱形，E點坐標為（﹣ ，﹣ ）．理由如下

如圖2，E點關于PQ與A點對稱，過點Q作，QF⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ

∴AP=AQ=QE=EP，

∴四邊形AQEP為菱形，

∵FQ∥OC，

∴ = = ，

∴ = =

∴AF= t，FQ= t

∴Q（3﹣ t，﹣ t），

∵EQ=AP=t，

∴E（3﹣ t﹣t，﹣ t），

∵E在二次函數y= x2﹣ x﹣4上，

∴﹣ t= （3﹣ t）2﹣ （3﹣ t）﹣4，

∴t= ，或t=0（與A重合，舍去），

∴E（﹣ ，﹣ ）

【解析】（1）將A，B點坐標代入函數y= x2+bx+c中，求得b、c，進而可求解析式；（2）由解析式先求得點D、C坐標，再根據S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC ， 列式計算即可；（3）注意到P，Q運動速度相同，則△APQ運動時都為等腰三角形，又由A、E對稱，則AP=EP，AQ=EQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對邊平行且相等的性質可用t表示E點坐標，又E在E函數上，所以代入即可求t，進而E可表示．本題考查了二次函數性質、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知識，總體來說題意復雜但解答內容都很基礎，熟練地運用數形結合是解決問題的關鍵．