Question

【題目】現有一次函數y＝mx+n和二次函數y＝mx2+nx+1，其中m≠0，

（1）若二次函數y＝mx2+nx+1經過點（2，0），（3，1），試分別求出兩個函數的解析式．

（2）若一次函數y＝mx+n經過點（2，0），且圖象經過第一、三象限．二次函數y＝mx2+nx+1經過點（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，請求出a的取值范圍．

（3）若二次函數y＝mx2+nx+1的頂點坐標為A（h，k）（h≠0），同時二次函數y＝x2+x+1也經過A點，已知﹣1＜h＜1，請求出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣2，y=x2++1；（2）a＜；（3）m＜﹣2或m＞0．

【解析】

（1）直接將點代入函數解析式，用待定系數法即可求解函數解析式；

（2）點（2，0）代入一次函數解析式，得到n＝2m，利用m與n的關系能求出二次函數對稱軸x＝1，由一次函數經過一、三象限可得m＞0，確定二次函數開口向上，此時當 y1＞y2，只需讓a到對稱軸的距離比a＋1到對稱軸的距離大即可求a的范圍．

（3）將A（h，k）分別代入兩個二次函數解析式，再結合對稱抽得h＝，將得到的三個關系聯立即可得到，再由題中已知1＜h＜1，利用h的范圍求出m的范圍．

（1）將點（2，0），（3，1），代入一次函數y＝mx+n中，

，

解得，

∴一次函數的解析式是y＝x﹣2，

再將點（2，0），（3，1），代入二次函數y＝mx2+nx+1，

，

解得，

∴二次函數的解析式是．

（2）∵一次函數y＝mx+n經過點（2，0），

∴n＝﹣2m，

∵二次函數y＝mx2+nx+1的對稱軸是x＝，

∴對稱軸為x＝1，

又∵一次函數y＝mx+n圖象經過第一、三象限，

∴m＞0，

∵y1＞y2，

∴1﹣a＞1+a﹣1，

∴a＜．

（3）∵y＝mx2+nx+1的頂點坐標為A（h，k），

∴k＝mh2+nh+1，且h＝，

又∵二次函數y＝x2+x+1也經過A點，

∴k＝h2+h+1，

∴mh2+nh+1＝h2+h+1，

∴，

又∵﹣1＜h＜1，

∴m＜﹣2或m＞0．