Question

【題目】二次函數的圖象過點（4，－5）和（0，3），且與x軸交于點M（－1，0）和N，

（1）求此二次函數的解析式；

（2）如果這二次函數的圖像的頂點為點P，點O是坐標原點，求△OPN的面積．

（3）如果點R與點P關于x軸對稱，判定以M、N、P、R為頂點的四邊形的邊之間的位置與度量關系．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）6；（3）該四邊形（兩組）對邊（分別）平行，四條邊都相等

【解析】

（1）將已知的三點代入，利用待定系數法即可解答；

（2）先求得點P和點N的坐標，再得出線段ON的長度以及ON邊上的高，最后運用三角形面積公式解答即可；

（3）先畫出圖形，再說明四邊形MRNP是菱形，然后運用菱形的性質解答即可．

解：（1）設二次函數的解析式為y＝ax2＋bx＋c，

∴，

可以解得a＝－1，b＝2，c＝3 ．

∴y＝－x2＋2x＋3；

（2）如圖：由題意可知二次函數的圖像的頂點為點P（1，4），點N（3，0），

∴ON＝3, ON邊上的高為4

∴S△OPN＝3×4÷2=6 ．

（3）如圖:∵點R與點P關于x軸對稱

∴MN垂直平分PR

∵PR是二次函數的圖像對稱軸

∴PR垂直平分MN

∴PR互相MN垂直平分，

∴PMRN為菱形

∴該四邊形（兩組）對邊（分別）平行，四條邊都相等