Question

（2012•中江縣二模）如圖，⊙O的圓心在Rt△ABC的直角邊AC上，⊙O經過C、D兩點，與斜邊AB交于點E，連接BO、ED，且BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，連接DF．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）連接CE，求證：AE²=AD•AC；
（3）若⊙O的半徑為5，sin∠DFE=

3

5

，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，首先證明△BCO≌△BEO，可以得到∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB，則AB是⊙O切線；
（2）證明△AED∽△ACE，利用相似三角形的對應邊的比相等即可證得；
（3）首先利用勾股定理即可求得CE的長，然后利用三角函數的定義即可求解．

解答：解：（1）證明：連接OE．
∵ED∥OB，∠2=∠OED，∴∠1=∠3．
又OB=OB，OE=OC，
∴△BCO≌△BEO．（SAS）  
∴∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB，
∴AB是⊙O切線．
（2）連接CE．
∵∠CEO+∠OED=∠OED+∠DEA=90°，∴∠CEO=∠DEA．
又∠CEO=∠4，∴∠4=∠DEA，
又∠A=∠A，∴△AED∽△ACE．
∴

AE

AC

=

AD

AE

，∴AE²=AD•AC．

（3）∵CD為⊙O的直徑，
∴∠CED=90°，CD=2CO=10．
∴ED=CD•sin∠4=CD•sin∠DFE=10×

3

5

=6．
∴CE=

CD2-ED2

=

102-62

=8．
在Rt△CEG中，

EG

CE

=sin∠4=

3

5

，
∴EG=

3

5

×8=

24

5

．
根據垂徑定理得：EF=2EG=

48

5

．

點評：本題考查了切線的證明，以及相似三角形的判定與性質，三角函數，證明切線常用的方法是轉化成證明垂直．