Question

如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P，過點P作直線交AD于點E，交BC于點F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求證：PA=PC．
（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）首先在PA和PC的延長線上分別取點M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，則易證四邊形EMFN是平行四邊形，則可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可證得△EAM≌△FCN，則可得PA=PC；
（2）由PA=PC，EP=PF，可證得四邊形AFCE為平行四邊形，易得△PED≌△PFB，則可得四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD的面積=2×三角形ABD的面積

解答：（1）證明：在PA和PC的延長線上分別取點M、N，使AM=AE，CN=CF．則∠EMA=∠MEA，∠CNF=∠CFN．
∵AP+AE=CP+CF，
∴PM=PN，
∵PE=PF，
∴四邊形EMFN是平行四邊形．
∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．
在△EAM與△FCN中，

∠MEA=∠NFC ME=NF EMA=∠FNC

．
∴△EAM≌△FCN（ASA）．
∴AM=CN．
∵PM=PN，
∴PA=PC；

（2）解：∵PA=PC，EP=PF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形．
∴AE∥CF．
在△PED與△PFB中，

∠PED=∠PFB ∠EPD=∠FPB EP=PF

，
∴△PED≌△PFB（AAS）．
∴DP=PB．
由（1）知PA=PC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
∵BD=12，AB=15，∠DBA=45°，
∴四邊形ABCD的面積為：2×

1

2

BD•AB•sin45°=12×15×

2

2

=90

2

．
答：四邊形ABCD的面積是90

2

．

點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質，以及全等三角形的判定與性質等知識．此題圖形比較復雜，難度適中，解題的關鍵是數形結合思想的應用．