Question

如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E為垂足，若cosB=

4

5

，EC=2，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段PE的長(zhǎng)度的最小值是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根據(jù)AB、PE的值和△ABE的面積，即可求得PE的最小值．

解答：解：設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，
因?yàn)锳E⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB=

x-2

x

，又cosB=

4

5

，
于是

x-2

x

=

4

5

，
解得x=10，即AB=10．
所以易求BE=8，AE=6，
當(dāng)EP⊥AB時(shí)，PE取得最小值．
故由三角形面積公式有：

1

2

AB•PE=

1

2

BE•AE，
求得PE的最小值為4.8．
故答案為 4.8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦函數(shù)在直角三角形中的運(yùn)用、三角形面積的計(jì)算和最小值的求值問(wèn)題，求PE的值是解題的關(guān)鍵．