Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動點P（不與A、B重合），連結DP，作PQ⊥DP，使得PQ交線段BC于點E，設AP=x．

（1）當x為何值時，△APD是等腰三角形？

（2）若設BE=y，求y關于x的函數關系式；

（3）若BC的長a可以變化，在現在的條件下，是否存在點P，使得PQ經過點C？若不存在，請說明理由；若存在，寫出當BC的長在什么范圍內時，可以存在這樣的點P，使得PQ經過點C，并求出相應的AP的長．

Answer 1

【答案】（1）當x為2、4、5時，△APD是等腰三角形；

（2）；

（3）

【解析】

試題分析：（1）表示出PH，然后分①當AP=AD時，②當AD=PD時，根據等腰三角形三線合一的性質，AH=PH，列式進行計算即可得解；③當AP=PD時，表示出PH，然后在Rt△DPH中，根據勾股定理列式進行計算即可得解；

（2）根據同角的余角相等求出∠HDP=∠EPB，再根據兩角對應相等，兩三角形相似求出△DPH和△PEB相似，然后根據相似三角形對應邊成比例列出比例式整理即可得解；

（3）根據PQ過點C時，BE=4，代入（2）的BE的表達式，再根據一元二次方程的解確定即可．

解：（1）過D點作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6，

∴AH=2，AD=2，

∵AP=x，

∴PH=x﹣2，

情況①：當AP=AD時，即x=2，

情況②：當AD=PD時，則AH=PH，

∴2=x﹣2，

解得x=4，

情況③：當AP=PD時，則Rt△DPH中，x2=42+（x﹣2）2，

解得x=5，

∵2＜x＜8，

∴當x為2、4、5時，△APD是等腰三角形；

（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，

∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°，

∴∠HDP=∠EPB，

又∵∠DHP=∠B=90°，

∴△DPH∽△PEB，

∴，

∴，

整理得：；

（3）存在，

由（2）得△DPH∽△PEB，

∴，

∴y=，

當y=a時，（8﹣x）（x﹣2）=a2，即x2﹣10x+（16+a2）=0，△=100﹣4（16+a2）≥0，

即100﹣64﹣4a2≥0，

即a2≤9，

又∵a＞0，

∴0＜a≤3，

∴當BC滿足0＜BC≤3時，存在點P，使得PQ經過C，

此時，AP的長為．