Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經過點C，AD⊥EF于點D，∠DAC=∠BAC.

（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：AC²=AD·AB；
（3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30⁰，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

解：（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。
∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC。∴OC∥AD。
∵AD⊥EF，∴OC⊥EF。
∵OC為半徑，∴EF是⊙O的切線。
（2）證明：∵AB為⊙O直徑，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°。
∵∠DAC=∠BAC，∴△ACB∽△ADC。
∴�！郃C²=AD•AB。
（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°.
∵OC=OA，∴△OAC是等邊三角形�！郃C=OA=OC=2，∠AOC=60°。
∵在Rt△ACD中，AD=AC=1。
由勾股定理得：DC=，
∴陰影部分的面積是S=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA=×（2+1）×﹣。

解析試題分析：（1）連接OC，根據OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根據切線的判定推出即可。
（2）證△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案。
（3）求出等邊三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面積，相減即可得出答案。