Question

【題目】夏季空調銷售供不應求，某空調廠接到一份緊急訂單，要求在10天內（含10天）完成任務，為提高生產效率，工廠加班加點，接到任務的第一天就生產了空調42臺，以后每天生產的空調都比前一天多2臺，由于機器損耗等原因，當日生產的空調數量達到50臺后，每多生產一臺，當天生產的所有空調，平均每臺成本就增加20元．
（1）設第x天生產空調y臺，直接寫出y與x之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）若每臺空調的成本價（日生產量不超過50臺時）為2000元，訂購價格為每臺2920元，設第x天的利潤為W元，試求W與x之間的函數解析式，并求工廠哪一天獲得的利潤最大，最大利潤是多少．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵接到任務的第一天就生產了空調42臺，以后每天生產的空調都比前一天多2臺，

∴由題意可得出，第x天生產空調y臺，y與x之間的函數解析式為：y=40+2x（1≤x≤10）；

（2）解：當1≤x≤5時，W=（2920﹣2000）×（40+2x）=1840x+36800，

∵1840＞0，

∴W隨x的增大而增大，

∴當x=5時，W最大值=1840×5+36800=46000；

當5＜x≤10時，

W=[2920﹣2000﹣20（40+2x﹣50）]×（40+2x）=﹣80（x﹣4）2+46080，

此時函數圖象開口向下，在對稱軸右側，W隨著x的增大而減小，又天數x為整數，

∴當x=6時，W最大值=45760元．

∵46000＞45760，

∴當x=5時，W最大，且W最大值=46000元．

綜上所述：W= ．

【解析】（1）根據接到任務的第一天就生產了空調42臺，以后每天生產的空調都比前一天多2臺，直接得出生產這批空調的時間為x天，與每天生產的空調為y臺之間的函數關系式；（2）根據基本等量關系：利潤=（每臺空調訂購價﹣每臺空調成本價﹣增加的其他費用）×生產量即可得出答案．