Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=13，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△A'B'C，P為線段A′B′上的動點，以點P為圓心，PA′長為半徑作⊙P，當⊙P與△ABC的邊相切時，⊙P的半徑為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據直角三角形的性質和勾股定理，結合sinA=513，AC=12求出AB與BC的長，再對⊙P與△ABC相切的位置進行討論；

①如圖1中，當⊙P與直線AC相切于點Q時，連接PQ，根據題意可得PQ∥CA′，從而得到PQCA'=PB'A'B'，代入已知條件求出PQ，即為圓的半徑；

②如圖2中，當⊙P與AB相切于點T時，易證A′、B′、T共線，從而得到△A′BT∽△ABC.利用相似三角形對應邊成比例得到A'TAC=A'BAB，求出A′T確定圓的直徑，進而求出半徑.

∵在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=513，AC=12，

∴BC=5，AB=13.

①當⊙P與直線AC相切于點Q時，連接PQ，如圖1所示：

設PQ=PA′=r.

∵PQ∥CA′，

∴PQ：CA'=PB'：A'B'，

∴r：12=（13r）：13，

∴r= ．

②當⊙P與AB相切于點T時，如圖2所示，易證A′、B′、T共線.

∵△A′BT∽△ABC，

∴A'T：AC=A'B：AB，

∴A'T：12=17：13，

∴A′T= ，

∴r=A′T=.

綜上所述，⊙P的半徑為.