Question

（2012•延慶縣一模）閱讀下面材料：
小紅遇到這樣一個問題，如圖1：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6，且∠BAC=45°，求線段AD的長．

小紅是這樣想的：作△ABC的外接圓⊙O，如圖2：利用同弧所對圓周角和圓心角的關系，可以知道∠BOC=90°，然后過O點作
OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半徑及OE，在Rt△AOF中可以求出AF，最后利用AD=AF+DF得以解決此題．
請你回答圖2中線段AD的長

12

．
參考小紅思考問題的方法，解決下列問題：如圖3：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6，且∠BAC=30°，則線段AD的長

3

11

+5

3

．

Answer 1

分析：（1）根據小紅的解題方法，過O點作OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半徑及OE，在Rt△AOF中可以求出AF，最后利用AD=AF+DF得以解決具體計算即可求解；
（2）與（1）的解法相同．

解答：解：（1）∵OE⊥BC于E，
∴EC=

1

2

BC=

1

2

（BD+CD）=

1

2

（4+6）=5，
又∵∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
∴∠COE=45°，
∴直角△OEC中，OC=

2

CE=5

2

，
在直角△AOF中，OF=BE-BD=5-4=1，
AF=

OA2-OF2

=7，
∴AD=AF+FD=7+5=12，故答案是：12；
（2）過O點作OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半徑及OE，
與（1）的解法相同，可以得到：EC=5，∠EOC=30°，
則OE=

3

EC=5

3

，OC=2EC=10，
在直角△AOF中，利用勾股定理可以得到：AF=3

11

，
則AD=AF+FD=3

11

+5

3

．

點評：本題考查了圓周角定理、勾股定理以及垂徑定理，正確理解題意，求得AF的長度是關鍵．