Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，4）、（﹣1，0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′．

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)C、A、A′，求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M時(shí)第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)M的坐標(biāo)；
（3）若P為拋物線上一動點(diǎn)，N為x軸上的一動點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)這個平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

∵平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊

形A′B′OC′，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（4，0）．

∵拋物線過點(diǎn)C，A，A′，設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為

y=ax2+bx+c（a≠0）可得：

，解得： ，

∴拋物線的函數(shù)解析式為y=﹣x2+3x+4．

（2）

解：如圖2中，連接AA′，設(shè)直線AA′的函數(shù)解析式為y=kx+b，

可得： ，解得： ，

∴直線AA′的函數(shù)解析式是y=﹣x+4．

設(shè)M（x，﹣x2+3x+4），作MN∥y軸交AA′于N，則N（m，﹣m+4），

S△AMA′= ×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2（x﹣2）2+8，

∵﹣2＜0，

∴x=2時(shí)，△AMA′的面積最大，最大面積為8，

∴M（2，6）．

（3）

解：如圖3中，

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，﹣x2+3x+4），當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)，

①當(dāng)BQ為邊時(shí)，PN∥BQ 且PN=BQ，

∵BQ=4，

∴﹣x2+3x+4=±4．

當(dāng)﹣x2+3x+4=4時(shí)，x=0或3，

可得P1（0，4），P2（3，4）；

當(dāng)﹣x2+3x+4=﹣4時(shí)，x= ，可得P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）．

②當(dāng)BQ為對角線時(shí)，PB∥x軸，即P1，P2的坐標(biāo)不變；

當(dāng)這個平行四邊形為矩形時(shí)，即P1（0，4），P2（3，4），N1（0，0），N2（3，0）．

綜上所述，當(dāng)P1（0，4），P2（3，4），P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）．時(shí)，P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形；

當(dāng)這個平行四邊形為矩形時(shí)，N1（0，0），N2（3，0）．

【解析】（1）先確定C，A，A′三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為解方程組即可．（2）如圖2中，連接AA′，設(shè)直線AA′的函數(shù)解析式為y=kx+b，設(shè)M（x，﹣x2+3x+4），作MN∥y軸交AA′于N，則N（m，﹣m+4），構(gòu)建二次函數(shù)后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．（3）分兩種情形討論即可．①當(dāng)BQ為邊時(shí)，PN∥BQ 且PN=BQ，由BQ=4，可得﹣x2+3x+4=±4．解方程可以得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．②當(dāng)BQ為對角線時(shí)，PB∥x軸，即P1 ， P2的坐標(biāo)不變；當(dāng)這個平行四邊形為矩形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)利用圖象即可解決．