Question

（本小題滿分14分）

如圖，已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A（－1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。設拋物線的頂點為D，求解下列問題：

1.（1）求拋物線的解析式和D點的坐標；

2.（2）過點D作DF∥軸，交直線BC于點F，求線段DF的長，并求△BCD的面積；

3.（3）能否在拋物線上找到一點Q，使△BDQ為直角三角形？若能找到，試寫出Q點的坐標；若不能，請說明理由。

 

Answer 1

 

1.解：（1）設拋物線的解析式為

  把（0，3）代入，解得，

   解析式為-----------------------2分

則點的坐標為（1，4）-----------------------2分

 

2.（2）設直線BC的解析式為，把B（3，0）代入，

解得，所以

∴DF=   -----------------------2分

△BCD的面積=   --------------2分

 

3.（3）①點即在拋物線上，CD=，BC=，。

∵，，∴ ∴，

這時與點重合點坐標為----------------------------------2分

②如圖（4），若為，作QF⊥軸于，

軸于

可證

有

則點坐標

即

化簡為

即

解之為或

由得坐標：----------2分

③若為

如圖（5），延長交軸于，

作軸于，

軸于

可證明

即

則

得，

解法（1）過Q作QG∥軸交DE于點G，∴，，

∴，  ，解得（舍去），

代入解得，為

解法（2）點的坐標為

所在的直線方程為

則與的解為，得交點坐標為···················· 2分

即滿足題意的點有三個，，

解析:略