Question

【題目】如圖，⊙是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點O作OD⊥AB于點D，延長DO交⊙于點P，過點P作PE⊥AC于點E，作射線DE交BC的延長線于F點，連接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長；（結果保留π）

（2）求證：OD=OE；

（3）求證：PF是⊙的切線。

Answer 1

【答案】（1）2π；（2）證明過程見解析；（3）證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據直徑得出半徑的長度，然后根據弧長的計算公式進行求解；（2）、根據垂直得出∠ADO=∠PEO，對頂角相等，半徑相等得出△ADO和△PEO全等，從而得出OD=OE；（3）連接PC，根據直徑得出∠ABC=90°，從而說明PD∥BC，根據已知條件結合（2）得出△PCE和△PFC全等，從而說明∠OPF=90°，得出切線.

試題解析：（1）由直徑AC=12得半徑OC=6

劣弧PC的長為

（2）∵ OD⊥AB，PE⊥AC

∴ ∠ADO=∠PEO=90°

在△ADO和△PEO中，∠ADO=∠PEO，∠AOD=∠POE，OA=OP

∴ △ADO≌△PEO

∴ OD=OE

（3）連接PC，由AC是直徑知BC⊥AB，又OD⊥AB，

∴ PD∥BF

∴ ∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE

由（2）知OD=OE，則∠ODE=∠OED，又∠OED=∠FEC

∴ ∠FEC=∠CFE

∴ EC=FC

由OP=OC知∠OPC=∠OCE

∴ ∠PCE =∠PCF

在△PCE和△PFC中，EC=FC

∠PCE=∠PCF PC=PC

∴ △PCE≌△PFC

∴ ∠PFC =∠PEC=90°

由∠PDB=∠B=90°可知∠OPF=90°即OP⊥PF

∴ PF是⊙的切線