Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，OC=4，AO=2OC，且拋物線對稱軸為直線x=-3．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）己知矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在AC、BC上，設OD=m，矩形DEFG的面積為S，當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=

2

5

DF，求出此時點M的坐標；
（3）若點Q是拋物線上一點，且橫坐標為-4，點P是y軸上一點，是否存在這樣的點P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出點C的坐標，則得出c=4．根據拋物線的性質求出點A，B的坐標．然后把已知坐標代入解析式求出函數表達式．
（2）證明△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB利用線段比求出FH，FG．然后設直線BC的解析為y=kx+b₁，求出解析式后可求出點G的坐標為（m，-2m+4），然后可求出S的函數解析式．做MN₁⊥x軸于M₁，證明△MM₁D∽△FED，利用線段比有關線段的值最后求出點M的坐標．
（3）依題意求出點Q的坐標，設P點坐標為（0，n）．在△BPQ中，分三種情況討論點P的坐標．

解答：解：（1）∵OC=4，
∴點C的坐標為（0，4）．
∴c=4，則拋物線解析式為y=ax²+bx+4．
∵AO=2OC，則AO=8，
∴點A的坐標為（-8，0）．
又∵拋物線對稱軸為直線x=-3，
∴點B的坐標為（2，O）．
∴

0=64a-8b+4 0=4a+2b+4

，
解得

a=- 1 4 b=- 3 2

．
∴該拋物線的函數表達式為y=-

1

4

x2-

3

2

x+4．（3分）

（2）∵矩形DEFG中FG∥ED，設FG與y軸交于點H，
∴△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB．
∴

FH

AO

=

CH

CO

=

HG

OB

，即

FH

8

=

m

2

．
∴FH=4m，故FG=5m．
設直線BC的解析式為：y=kx+b₁，則

4=b1 0=3k+b1

，
解得

k=-2 b1=4

．
∴直線BC的解析式為y=-2x+4，則點G的坐標為（m，-2m+4）
∴S=FG×GD=5m（-2m+4）=-10（m-1）²+10（5分）
∵0≤m≤2，
∴當m=1時，S最大．此時OD=1，OE=4，∴DE=5．
過M作MM₁⊥x軸于M₁，則△MM₁D∽△FED，
∴

MM1

FE

=

MD

DF

=

DM1

DE

∵FM=

2

5

DF，
∴

MD

DF

=

7

5

．則

MM1

2

=

DM1

5

=

7

5

．
∴MM1=

14

5

，DM₁=7，則OM₁=6．
∴此時點M的坐標為(-6，

14

5

)．（7分）

（3）存在．理由如下：
∵點Q在拋物線上，且橫坐標為-4，
∴y_Q=6，
∴點Q坐標為（-4，6），
設P的坐標為（0，n），在△BPQ中，
若∠BQP為直角，則PQ²+BQ²=BP²，
∴4²+（n-6）²+6²+（2+4）²=2²+n²，
解得n=10，
此時點P的坐標為（0，10）．（8分）
若∠QBP為直角，則PQ²=BQ²+BP²，
∴4²+（6-n）²=6²+（2+4）²+2²+n²，
解得n=-2，
此時點P的坐標為（0，-2）．（9分）
若∠QPB為直角，則BQ²=BP²+PQ²，
∴6²+（2+4）²=4²+（n-6）²+2²+n²，
解得n1=3+

17

，n2=3-

17

此時點P的坐標為(0，3+

17

)或(0，3-

17

)．（11分）
綜上所述，存在這樣的點P，使得以△BPQ是直角三角形，所求的點P的坐標為：
（O，10）或（0，-2）或(0，3+

17

)或(0，3-

17

)．

點評：本題考查的是二次函數的綜合運用．利用待定系數法以及結合二次函數圖象求解，難度較大．