Question

【題目】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點P是⊙O上不與A，B重合的一個動點，延長PA到C，使AC=AP，點D為⊙O上一點，且滿足AD∥PB，射線CD交PB延長線于點E．

（1）求證：△PAB≌△ACD；

（2）填空：

①若AB=6，則四邊形ABED的最大面積為 ；

②若射線CD與⊙O的另一個交點為F，則當∠PAB的度數為 時，以O，A，D，F為頂點的四邊形為菱形．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)①18；②30°.

【解析】

試題分析：（1）連接BD，先判斷出四邊形ADBP矩形，得出AD=PB，再用SAS得出△PAB≌△ACD；

（2）①先判斷出四邊形ADEB是平行四邊形，而AB是定值，要四邊形ADEB面積最大，只有點D到AB的距離最大，最大為圓的半徑，最后根據三角形面積公式計算即可；

②要使四邊形OADF是菱形，即OA=AD，得出三角形AOD是等邊三角形，即∠OAD=60°即可．

試題解析：（1）如圖1，連接，BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠APB=∠ADB=90°，

∵AD∥PB，

∴∠CAD=∠APB=90°，

∴∠PAD=90°

∴∠APB=∠ADB=∠PAD=90°，

∴四邊形ADBP是矩形，

∴AD=PB，

在△PAB≌和△ACD中，

AC=AP，∠CAD=∠APB，AD=PB，

∴△PAB≌△ACD；

（2）①由（1）知，AD=PB

∵AD∥PB，AC=AP，

∴AD=PE=（PB+BE），

∴PB=EB，

∴AD=BE，

∵AD∥PB，

∴四邊形ADEB是平行四邊形，

∵AB是⊙O的直徑，不變，

∴直線CD和⊙O相切時，即：點D到直徑AB的等于半徑時，四邊形ABED的最大，

∵AB=6

∴S四邊形ABED的最大=AB×AB=18，

故答案為：18；

②由①知，四邊形ADEB是平行四邊形，

∴OA∥DF，

∵以O，A，D，F為頂點的四邊形為菱形，

∴OA=AD=DF，

∴∠BAD=60°，

∵∠PAD=90°，

∴∠PAB=30°，

故答案為：30°．