Question

【題目】ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是邊AB上的一個動點（不與A、B重合），連接EO并延長，交CD于點F，連接AF，CE，下列四個結論中：

①對于動點E，四邊形AECF始終是平行四邊形；

②若∠ABC＜90°，則至少存在一個點E，使得四邊形AECF是矩形；

③若AB＞AD，則至少存在一個點E，使得四邊形AECF是菱形；

④若∠BAC＝45°，則至少存在一個點E，使得四邊形AECF是正方形．

以上所有正確說法的序號是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①根據平行四邊形的性質得AB∥DC，OA＝OC，再由平行線的性質和對頂角相等可得∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，根據ASA來判定△AOE≌△COF，推出AE=CF,由此可判斷四邊形為平行四邊形；

②根據矩形的判定定理可知，當CE⊥AB時，四邊形AECF為矩形，而圖2-2中，AB<AD時，點E不在線段AB上；

③根據菱形的判定定理可知：當EF⊥AC時，四邊形AECF為菱形；

④當CE⊥AB且∠BAC＝45°時，四邊形AECF為正方形，在AB上一定存在一點E

解：（1）如圖1，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC與BD交于點O，

∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD，

∴∠OAE＝∠OCF，

∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE＝CF，

又∵AE∥CF，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

即E在AB上任意位置（不與A、B重合）時，四邊形AECF恒為平行四邊形，

故選項①正確；

（2）如圖2，當∠ABC＜90°,

當CE⊥AB時，四邊形AECF為矩形，

在圖2中，AB>AD時，存在一點E, 使得四邊形AECF是矩形；

而圖2-2中，AB<AD時，點E不在線段AB上；

故選項②不正確．

（3）如圖3，

當EF⊥AC時，四邊形AECF為菱形，

∵AB＞AD，

∴在AB上一定存在一點E, 使得四邊形AECF是矩形；

故選項③正確．

（4）如圖4，

當CE⊥AB且∠BAC＝45°時，四邊形AECF為正方形，故選項④正確．

故答案為：①③④．