Question

【題目】如圖，△ABC中，E是AC上一點，且AE=AB，∠EBC= ∠BAC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，交EB于點F．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）若AB=8，sin∠EBC= ，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AF．

∵AB為直徑，

∴∠AFB=90°．

∵AE=AB，

∴△ABE為等腰三角形．

∴∠BAF= ∠BAC．

∵∠EBC= ∠BAC，

∴∠BAF=∠EBC，

∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．

∴∠ABC=90°．

即AB⊥BC，

∴BC與⊙O相切

（2）解：過E作EG⊥BC于點G，

∵∠BAF=∠EBC，

∴sin∠BAF=sin∠EBC= ．

在△AFB中，∠AFB=90°，

∵AB=8，

∴BF=ABsin∠BAF=8× =2，

∴BE=2BF=4．

在△EGB中，∠EGB=90°，

∴EG=BEsin∠EBC=4× =1，

∵EG⊥BC，AB⊥BC，

∴EG∥AB，

∴△CEG∽△CAB，

∴ ．

∴ ，

∴CE= ，

∴AC=AE+CE=8+ = ．

【解析】（1）首先連接AF，由AB為直徑，根據圓周角定理，可得∠AFB=90°，又由AE=AB，∠EBC= ∠BAC，根據等腰三角形的性質，可得∠BAF=∠EBC，繼而證得BC與⊙O相切；（2）首先過E作EG⊥BC于點G，由三角函數的性質，可求得BF的長，易證得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．