Question

【題目】如圖在△ABC 中，AB、AC 邊的垂直平分線相交于點 O，分別交 BC 邊于點 M、N，連接 AM，AN．

（1）若△AMN 的周長為 6，求 BC 的長；

（2）若∠MON=30°，求∠MAN 的度數；

（3）若∠MON=45°，BM=3，BC=12，求 MN 的長度．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）120°（3）5．

【解析】

（1）根據垂直平分線的性質可得BM=AM，CN=AN，再根據三角形的周長即可求出BC；

（2）設射線OM交AB于E，射線ON交AC于F，根據四邊形的內角和，即可求出∠EAF，再根據三角形的內角和，即可求出∠B＋∠C，然后根據等邊對等角即可求出∠MAB＋∠NAC，從而求出∠MAN；

（3）設射線OM交AB于E，射線ON交AC于F，根據四邊形的內角和，即可求出∠EAF，再根據三角形的內角和，即可求出∠B＋∠C，然后根據等邊對等角即可求出∠MAB＋∠NAC，從而求出∠MAN，設MN=x，根據勾股定理列出方程求出x即可．

解：（1）∵AB、AC 邊的垂直平分線相交于點 O，分別交 BC 邊于點 M、N，

∴BM=AM，CN=AN

∵△AMN 的周長為 6，

∴AM＋AN＋MN=6

∴BC=BM＋MN＋CN= AM＋MN＋AN =6；

（2）設射線OM交AB于E，射線ON交AC于F，

在四邊形AEOF中，∠EAF=360°－∠AEO－∠AFO－∠MON=150°

∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=30°

∵BM=AM，CN=AN

∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C

∴∠MAB＋∠NAC=30°

∴∠MAN=∠EAF－（∠MAB＋∠NAC）=120°；

（3）設射線OM交AB于E，射線ON交AC于F，

在四邊形AEOF中，∠EAF=360°－∠AEO－∠AFO－∠MON=135°

∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=45°

∵BM=AM=3，CN=AN

∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C

∴∠MAB＋∠NAC=45°

∴∠MAN=∠EAF－（∠MAB＋∠NAC）=90°

設MN=x，則AN =CN=BC－BM－MN=9－x

在Rt△AMN中，MN2=AM2＋AN2

即x2=32＋（9－x）2

解得：x=5

即MN=5